Главная страница Гостевая книга Пишите нам

Rambler's Top100





29.12.2013
Поздравление с Новым Годом!


подробнее»



ПнВтСрЧтПтСбВс
       
 123456
78910111213
14151617181920
212223
24
252627
282930    

ФОБОС: погода в г. Ноябрьск

Проверка слова

www.gramota.ru







Урок «Теорема Пифагора» вошел в сборник «Математическая мозаика»


Электронный
научно-практический журнал
«Вопросы Интернет-образования»

Урок «Теорема Пифагора» опубликован в журнале «Вопросы Интернет-образования» №31/2005/ноябрь

№31/2005/ноябрь


Урок по теме «Теорема Пифагора», 8 кл. (формат pdf, размер файла 498 Кб) можно скачать здесь.



Презентацию к уроку (формат ppt, размер файла 1,06 Мб) можно скачать здесь.

Скриншот

Скриншот презентации. Слайд №20



30 доказательств теоремы Пифагора приведено здесь. 96 доказательства теоремы Пифагора смотрите здесь (англ.).


Еще о Пифагоре здесь.



Сообщение

Пифагор

ПИФАГОР САМОССКИЙ
(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)

    О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.
    Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.
    Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.
Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.
    Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.
    Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.
    Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.
    Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

    Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:
  • теорема о сумме внутренних углов треугольника;
  • построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
  • геометрические способы решения квадратных уравнений;
  • деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
  • доказательство того, что не является рациональным числом;
  • создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.
    Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.
    Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.
    После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.



Материалы для "раскладушки"

Приложение № 1

ЛЕГЕНДЫ,
СВЯЗАННЫЕ С ИМЕНЕМ ПИФАГОРА

    По одной из легенд отцом Пифагора был сириец Мнесарх. Однажды по торговым делам он прибыл из своего родного Тира на остров Самос. Год был неурожайным, население голодало, и Мнесарх устроил бесплатную раздачу хлеба народу. В благодарность его удостоили самосского гражданства.
    По словам историка Апулея "Мнесарх славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство". Сохранилось предание, согласно которому Мнесарх вместе со своим учеником вырезал перстень дивной красоты. Этот перстень перешёл к правителю острова Самос Поликрату и ценился им превыше всего на свете.
    Однажды египетский фараон Амасис, состоящий с самосским тираном в дружеских отношениях, встревожился его великим преуспеванием и написал Поликрату письмо, в котором говорил так: "приятно узнать, что друг мой счастлив. Но всё те твои успехи не радуют меня, так я знаю, сколь ревниво божество к человеческому счастью. Поэтому я желал бы, чтобы и у меня самого, и моих друзей одно удавалось, а другое – нет, чтобы лучше на своём веку мне непременно сопутствовали успехи и неудачи, чем быть счастливому всегда. Ведь мне не приходилось слышать ещё ни об одном человеке, кому бы всё удавалось, а в конце концов он не кончил плохо. Поэтому послушайся моего совета теперь и ради своего счастья поступи так: обдумай, что тебе дороже всего на свете и потеря чего может больше всего огорчить тебя. Эту вещь ты закинь так, чтобы она не попадалась никому в руки. И если и тогда успехи у тебя не будут сменяться неудачами, то и впредь применяй то же средство по моему совету". Поликрат нашёл совет Амасиса мудрым. "Посадив людей на корабль, он сам поднялся на борт и приказал затем выйти в море. Когда корабль отошёл далеко от острова, Поликрат снял перстень и на глазах у всех своих спутников бросил в море. После этого, опечаленный потерей, он вернулся во дворец.
    А спустя пять или шесть дней какой-то рыбак поймал большую красивую рыбу и решил, что это достойный подарок Поликрату. Он принёс рыбу во дворец, а слуги, выпотрошив её, нашли в брюхе тот Поликратов перстень. Поликрат понял тогда, что это божественное знамение, и написал Амасису обо всём.
    Амасис же, прочтя послание Поликрата, убедился, что ни один человек не может уберечь другого от предречённой ему участи и что Поликрат не кончит добром, так как он преуспевает во всём и даже находит то, что забросил".
    Пророчество Амасиса сбылось. Опасаясь владычества Поликрата на море, персы хитростью выманили Поликрата из Самоса, и зверски убили его.
    Легенда о Поликратовом перстне, в котором нашла отражение вечная тема непостоянства земного счастья, стала популярным литературным сюжетом. Вспомним "Поликратов перстень" Шиллера:
На кровле он стоял высоко
И на Самос богатый око
С весельем гордым преклонял.
"Сколь щедро взыскан я богами!
Сколь счастлив я между царями!"
Царю Египта он сказал.
    Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли её Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына – Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына. Наконец, многие, имея на то основания, считали, что Пифагор – это не имя, а прозвище. Поскольку мудрый учитель высказывал истину столь же постоянно и авторитетно, как и дельфийская Пифия, он был прозван Пифагором.
    Слово Пифагор можно перевести как вещающий (прорицающий) как Пифия. Версия о том, что Пифагор это имя не собственное, а прозвище, представляется наиболее правдоподобной. Ведь и знаменитый философ Аристокл известен нам не по своему настоящему имени, а по прозвищу, которое он получил за свою мускулатуру гимнаста, – широкий, широкоплечий, по-гречески Платон.



Приложение № 2

ПИФАГОРОВЫ ЗАКОНЫ
И НРАВСТВЕННЫЕ ПРАВИЛА

    Кротон... Здесь начинается самый славный период биографии Пифагора. Сорок лет, возраст акме-вершина творческих сил человека – стал и временем расцвета философии Пифагора.
    В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни – это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Он быстро завоевал широкую известность и стал ведущим центром духовной и общественной жизни.
    Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников, которые и сегодня достойны подражания.
    Система морально-этических правил, завещанная ученикам Пифагора, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев – "Золотые стихи". Они переписывались и дополнялись па протяжении всей тысячелетней истории античности, а затем и в эпоху средневековья и Возрождения. В 18-19 в.в. "Золотые стихи" были особенно популярны в России. В 1808 году в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка "Пифагоровы законы и нравственные правила", начинавшаяся словами:

Зороастр был законодателем персов.
Ликург был законодателем спартанцев.
Солон был законодателем афинян.
Нума был законодателем римлян.
Пифагор есть законодатель всего человеческого рода.

    Вот некоторые из 325 Пифагоровых заповедей:

Мысль – превыше всего между людьми.
Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.
Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.
Юные девицы! Помятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.
Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.
Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.
Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться.
Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать.
Не пренебрегай здоровьем своего тела.
Научись жить просто и без роскоши.
Через весы не шагай – избегай алчности.
Не садись на хлебную меру – не живи праздно.
Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.
Ласточек в доме не держи – не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык.
Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день.
По торной дороге не ходи – следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих.

    Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выражают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда, покуда жив человек.
    Пифагорейцы с равным усердием заботились и о духовном развитии, и о физическом. У них был особый распорядок дня, в котором находилось время для гимнастических упражнений. Не случайно среди дошедших до нас имён олимпийских победителей так много кротонцев: шестикратный победитель Олимпийских игр среди борцов ученик Пифагора Милон; легендарный прыгун Фаилл. А однажды в беге на одну дистанцию все семь победителей оказались кротонцами.
    В те времена в ходу были поговорки: "Последний из кротонцев – первый из остальных греков" или "Здоровье кротонца", что означало высшую степень физического развития.
    Но вместе с этими благородными истинами было в учении Пифагора и много мистического, туманного и просто смешного не только для наших современников, но и для современников Пифагора. Среди такого было учение о бессмертии души, о переселении души человека в животных после смерти, "что всё рождённое вновь рождается через промежутки времени, что ничего нового на свете нет, и что всё живое должно считаться родственным друг другу". Из учения о переселении душ следовали и предписания, запрещающие убивать животных и питаться их мясом, так как в животном могла обитать душа умершего человека. Но это табу Пифагора грекам приходилось не по душе, и они не упускали случая вспомнить Пифагору его собственные прегрешения.
    Многие историки видят в пифагорейском учении о переселении душ след пребывания Пифагора в Египте, так как они первыми создали учение о посмертном круге души. Египетские влияния просматриваются и других сторонах жизни пифагорейского братства. Как и египетские жрецы, пифагорейцы запрещали употреблять в пищу бобы и даже прикасаться к ним, потому что по легенде бобы произошли из капель крови растерзанного Диониса Загрея.
    Забота о чистоте духа не заслоняла для пифагорейцев заботу о чистоте тела. Сам Пифагор всегда облачался в ослепительно белые одежды, подобно египетским жрецам, и любил носить восточный тюрбан. Возможно, жреческой замкнутостью объясняется и тайный характер всего пифагорейского учения.
    Поскольку учение Пифагора было тайным, то оно, видимо не записывалось. Вот почему не сохранилось ни одной строчки трудов самого Пифагора, скорее всего он их просто не писал. В силу этого, а также в силу существовавшей в античности традиции приписывались результаты открытий учеников своему учителю, поэтому сегодня невозможно определить, что сделал в науке сам Пифагор, а что – его ученики. Древние верили, что идеи, подобно вину, только улучшаются с возрастом. Поэтому ученики щедро приписывали свои открытия учителям, которые чаще всего об этих открытиях и не подозревали. Споры по этому вопросу, начатые Аристотелем, ведутся третье тысячелетие, однако общего мнения не существует. Вот почему вместо слов "учение Пифагора" принято говорить "пифагорейское учение".
    Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружён множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. Попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос учителя, а видеть его разрешалось только после нескольких лет очищения и аскетической жизни. Пифагорейский аскетизм для новичка сводится, прежде всего, к обету молчания. Обет молчания нашел своё отражение в символе – "Бык за зубами", что на современный лад означает "Держи язык за зубами".



Приложение № 3

ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Задача индийского математика
XII века Бхаскары

Тополь у реки

"На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?"

Задача из китайской
"Математики в девяти книгах"

Водоём, камыш

    "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.
    Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"


Задача из учебника "Арифметика"
Леонтия Магницкого

Человек, лестница

    "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.
    И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."



Приложение № 4

ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА

    Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E, F, K, L – середины сторон квадрата, О – центр квадрата, ОМ ⊥ EF, NF ⊥ EF.

Пифагорова головоломка



Статьи | Методика математики | Теорема Пифагора, 8 класс

» Формирование познавательного интереса к учению как способ развития креативных способностей личности (на примере уроков математики)
» Дидактические требования к современному уроку. Основные типы уроков.
» Дидактический материал - Координатная плоскость (6 класс)
» Реферат. Основные требования. Содержание.Этапы работы.Оформление. Рецензия на реферат.
» "Звёздный час" (математическая конкурс-викторина)
» Правильные многогранники
» Золотое сечение
» Теорема Пифагора, 8 класс
» Шар. Конус. Цилиндр, 6 класс
» Натуральные числа, урок-сказка, 5 класс
» Календарно-тематическое планирование



ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

8 класс, 2 ч

Содержание

Теорема Пифагора.
Применение теоремы Пифагора к решению задач.

Цель изучения
  1. Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками.
  2. Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора.
  3. Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой.
Прогнозируемый результат
  1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.
  2. Уметь доказывать теорему Пифагора.
  3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.
План урока
  1. Организационный момент.
  2. Актуализация знаний.
  3. Сообщение учащегося о жизни Пифагора Самосского.
  4. Историческая справка о теореме Пифагора.
  5. Работа над теоремой.
  6. Решение задач с применением теоремы.
  7. Подведение итога урока.
  8. Домашнее задание.
Оборудование
  1. Чертежные инструменты.
  2. Портрет Пифагора.
  3. Гербарии.
  4. Карта "Завоевания Александра Македонского".
  5. "Раскладушка": легенды о Пифагоре, нравственные заповеди пифагорейцев, пентаграмма, исторические задачи, пифагорова головоломка, пифагоровы тройки …
  6. Стенд с различными доказательствами теоремы Пифагора.
  7. Рисунки к устным задачам.
  8. Презентация Microsoft Office PowerPoint.
Ход урока

… Прежде, чем приступить к изучению нового материала, вспомним определение косинуса угла и решим несколько устных задач.

  • Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.
  • Чему равен cos A на рисунке 1?
  • Чему равен cos В на рисунке 2?
  • Чему равны косинусы острых углов Δ CDE на рисунке 3?
Прямоугольные треугольники

Рис. 1 – 3

О т в е т:
1) cos A = 2 / 7; 2) cos В = 15 / 17; 3) cos C = 5 / 13, cos D = 12 / 13

Сегодня на уроке мы приступает к изучению одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением, но сначала послушаем рассказ о математике, именем которого она названа, его подготовил(а) … (сообщение см. в левой колонке).

Из рассказа вы узнали, что союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма (рис. 4) – пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.
Опознавательный знак (эмблема) тайного союза пифагорейцев

Рис. 4

У немецкого поэта Гёте в трагедии "Фауст", которую вы будете изучать на уроках литературы, описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо начерчена, и промежуток в уголке остался. Зачитаю вам эпизод.
Мефистофель: Нет, трудновато выйти мне теперь,
Тут кое-что мешает мне немного:
Волшебный знак у вашего порога.
Фауст: Не пентаграмма ль этому виной?
Но как же, бес, пробрался ты за мной?
Каким путем впросак попался?
Мефистофель: Изволили ее вы плохо начертить,
И промежуток в уголку остался,
Там, у дверей, и я свободно мог вскочить.
Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72º. Именно это тип симметрии наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни (рис. 5), груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды (рис. 6) и панциря морского ежа.

Шиповник коричневый Лапчатка гусиная


ВишняМорская звезда

Рис. 5, 6

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.
Откройте тетради, запишите число … и тему урока "Теорема Пифагора".
— Ребята, может быть, вы что-нибудь слышали о теореме Пифагора? (…)
— А ещё? (Пифагоровы штаны во все стороны равны.)
Действительно, это шуточная формулировка теоремы.
В современных учебниках теорема сформулирована так: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".
— Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 7)?

Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора

Рис. 7

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах (рис. 8).

Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора

Рис. 8

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка 9 видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Равнобедренный прямоугольный треугольник, теорема Пифагора

Рис. 9

Смотрите, а вот и "Пифагоровы штаны во все стороны равны" (рис.10):

Пифагоровы штаны

Рис. 10

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи. Вот, например, такие (рис. 11, рис. 12):

Шарж

Рис. 11, 12

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".
На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора.
В настоящее время их насчитывается более ста.
Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части. На стенде вы можете познакомиться с двадцатью тремя такими доказательствами.

А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке.

Т е о р е м а. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис. 13).

Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора

Рис. 13

Д а н о: Δ АВС, ∠ С = 90°.

Д о к а з а т ь: АВ2 = АС2 + ВС2.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Проведём высоту CD из вершины прямого угла С.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому
в Δ ACD   cos A = AD / AC,

а в Δ АВС   cos А = AC / AB.

Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно,

AD / AC = AC / AB.

Отсюда, по свойству пропорции, получаем:
АС2 = AD · АВ.
(1)
Аналогично,
в Δ ВCD   cos В = BD / BC,

а в Δ АВС   cos В = BC / AB.

Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно,

BD / BC = BC / AB.

Отсюда, по свойству пропорции, получаем:
ВС2 = ВD · АВ.
(2)
Сложим почленно равенства (1) и (2), и вынесем общий множитель за скобки:

АС2 + ВС2 = AD · AB + BD · AB = AB · (AD + BD).
Так как
AD + BD = АВ,
то
АС2 + ВС2 = AB · AB = AB2.
Получили, что
АВ2 = АС2 + ВС2.
Итак,
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.
Ч. т. д.

Приближается зачёт по геометрии, а на зачётах и экзаменах иногда бывают случаи, когда ученики, вытянув билет, помнят формулировку теоремы, но забывают с чего начать доказательство. Чтобы этого не произошло с вами, предлагаю рисунок – опорный сигнал (рис. 14) и, думаю, он надолго останется в вашей памяти.

Опорный сигнал, теорема Пифагора

Рис. 14

Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли.
На математическом языке это означает: провели в Δ АВС высоту CD, и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC.
Вспомнив этот рисунок, вы вспомните дополнительное построение и начало доказательства теоремы.

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Особенностью теоремы Пифагора является то, что она неочевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении
с2 = а2 + b2.

Решим устно несколько задач по готовым чертежам.

З а д а ч а №1

Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора

Рис. 15

Р е ш е н и е

Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ,
по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,
АВ2 = 82 + 62,
АВ2 = 64 + 36,
АВ2 = 100,
АВ = 10.
О т в е т:
АВ = 10

З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня: АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10.
Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями, и каждый раз не будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются.

З а д а ч а №2

Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора

Рис. 16

Р е ш е н и е

Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE (рис. 16),
по теореме Пифагора: DE2 = 2 + CE2,
DC2 = DE2CE2,
DC2 = 52 – 32,
DC2 = 25 – 9,
DC2 = 16,
DC = 4.
О т в е т:
DC = 4

Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они и спользовали этот треугольник в "правиле верёвки" для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей… Об этом вы прочитаете дома в п. 64 и в материалах "раскладушки".

З а д а ч а №3

Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора

Рис. 17

Р е ш е н и е

Δ KLM вписан в окружность и опирается на диаметр KM (рис. 17). Так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые, то угол KLM – прямой. Значит, Δ KLM – прямоугольный. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KLM с гипотенузой КМ:
KM2 = KL2 + KM2,
KM2 = 52 + 122,
KM2 = 169,
KM = 13.
О т в е т:
KM = 13

А теперь письменно решим следующую задачу.

З а д а ч а №4

Высота, опущенная из вершины В Δ АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см.
Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см (рис. 18).

Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора

Рис. 18

Д а н о:
Δ АВС, BD – высота,
АВ = 20 см, AD = 16 см, DC = 9 см.

Н а й т и: ВС.

Р е ш е н и е

1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ CBD – прямоугольные.

2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ2 = AD2 + BD2, отсюда
BD2 = AB2AD2,
BD2 = 202 – 162,
BD2 = 400 – 256,
BD2 = 144,
BD = 12.

3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС2 = ВD2 + 2, отсюда
BC2 = 122 + 92,
BC2 = 144 + 81,
BC2 = 225,
BC = 15.

О т в е т: сторона BC равна 15 см.

З а м е ч а н и е. На втором этапе решения достаточно было найти BD2 и подставить его значение в равенство ВС2 = ВD2 + 2.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии – теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.
Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.
Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли "Юный Архимед". Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона "Менон". Этой теореме даже посвящены стихи.

О  т е о р е м е  П и ф а г о р а
Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна …
(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды, выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ приписывалось учителю и о многом другом, советую прочитать книгу А.В. Волошинова "Пифагор", которая имеется в нашей школьной библиотеке.
А познакомившись с материалами "раскладушки", вы можете узнать о нравственных заповедях пифагорейцев, прочитать несколько легенд, связанных с именем Пифагора, попробовать решить несколько исторических задач и разгадать пифагорову головоломку.

Запишите домашнее задание: выучить материалы п. 63, 64, ответить на контрольный вопрос № 3 с. 113, решить задачи № 4, №7 с. 114.

ЛИТЕРАТУРА
  1. Акимова С. Занимательная математика, серия "Нескучный учебник". – Санкт-Петербург. : "Тригон", 1997.
  2. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.
  3. Газета "Математика" № 17, 1996.
  4. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 12-е изд. – М. : Просвещение, 2002.
  5. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1981.
  6. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.
  7. Журнал "Квант" № 2, 1992.
  8. Журнал "Математика в школе" № 4, 1991.
  9. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
  10. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. М., 1963.
  11. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995.
  12. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.
  13. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.
  14. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Педагогика-Пресс, 1997.
  15. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 1998.
  16. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М., 1997.


Фрагмент учебного исследования
на уроке геометрии по теме "Теорема Пифагора"

На уроке геометрии по теме "Теорема Пифагора" можно провести учебное исследование.
Мотивирующей (исходной) задачей может служить следующая задача.

З а д а ч а

Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты.
Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Мачта

Анализируя математическую модель этой практической задачи, учащиеся формулируют проблему – нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.
Для решения этой проблемы можно организовать практическую работу исследовательского характера, предложив учащимся задание по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 12 см и 5 см; 6 см и 8 см; 8 см и 15 см и измерить гипотенузу.
Результаты заносятся в таблицу.

а1268
b5815
с131017

Затем учащимся предлагается выразить формулой зависимость между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках. Школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются.
После установления зависимости между сторонами прямоугольного треугольника эмпирический вывод требует теоретического обоснования, т.е. доказывается теорема Пифагора.
В качестве домашнего задания по этой теме можно предложить исследовательскую работу со следующей мотивирующей задачей.

М о т и в и р у ю щ а я   з а д а ч а

Кто же на самом деле открыл теорему Пифагор?
Почему она долгое время называлась "теоремой невесты"?
Существуют ли другие доказательства теоремы?

Цель этой исследовательской работы – научить учеников использовать дополнительную литературу, применять Интернет в собственной образовательной деятельности.




студия web-palette.ru Rambler's Top100 Банк Интернет-портфолио учителей Портал для учителя